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Milnor数

我们这里专指曲线的 Milnor 数,一般情形可类似讨论

我们这里专指曲线的 Milnor 数,一般情形可类似讨论。

假设C是闭域 k 上的一条曲线,在奇点p附近由

局部方程: f(x,y)=0 定义。

设f_x (相应的,f_y) 表示f(x,y)的关于x(相应的,y)的偏导数

Milnor 数 μ_p=dim_k k[x,y]/(f_x,f_y).

这里k[x,y]是系数取自域k的多项式全体构成的环, (f_x,f_y)是由f_x和f_y生成的理想,k[x,y]/(f_x,f_y) 是相应的商环. μ_p就是这个环作为k-向量空间的维数。

当k是复数域时,代数曲线C的Milnor数 可以用奇点的

几何亏格--记为δ_p, 以及在奇点处的局部分支数--记为k_p 表示。 这就是著名的Milnor公式:

μ_p=2δ_p-k_p+1.

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