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整环

一个非零环R叫做一个整环,对任意的a,b属于环R,假如1、乘法适合交换律ab=ba;2、R有单位元1;3、R没有零因子ab=0可得a=0或b=0,则R是整环

整环是抽象代数中最基本的概念之一。

一个是一个集合 A 以及它上面的两种运算,分别称为“加法”(+)和“乘法”(*),满足以下条件:

1、A 关于加法成为一个 Abel 群(其零元素记作 0);

2、乘法满足结合律:(a * b) * c = a * (b * c);

3、乘法对加法满足分配律:a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c;

如果环 A 还满足以下乘法交换律,则称为“交换环”:

4、乘法交换律:a * b = b * a。

如果交换环 A 还满足以下两条件,就称为“整环”:

5、A 中存在非零的乘法单位元,即存在 A 中的一个元素,记作 1,满足:1 不等于 0,且对任意 a,有:1 * a = a * 1 = a;

6、ab=0 => a=0 或 b=0。

例:

1、整数环是整环。

2、所有的(有理数域,实数域,复数域,等等)都是整环。

3、整环上的多项式环仍是整环。

4、当 n>1 时,任意环上的n阶矩阵环不是整环。

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