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盈数

盈数(又称丰数过剩数abundant number)是一种特殊的自然数,除去它本身以外的一切正约数的和大于它本身。

盈数(又称丰数过剩数abundant number)是一种特殊的自然数,除去它本身以外的一切正约数的和大于它本身。

最小的一些过剩数是:12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, …

以上列出的盈数都是偶数。最小的盈奇数是945。

与盈数数相关的概念是完全数(σ(n) = 2n)和亏数(σ(n) < 2n)。最早将自然数分为盈数、完美数和亏数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

1998年Marc Deléglise 证明了盈数在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

奇盈数和偶盈数都有无穷多个,因为每个完全数和盈数的倍数(不包括它们自身)都是盈数。甚至,每个大于20161的数都可以写成两个盈数之和。许多盈数一部分真约数的和等于盈数自身,这样的盈数也是半完全数,一个不是半完美数的盈数叫做奇异数;盈度为1的盈数叫做准完全数。

假定有一正整数n,其所有正整数因子的和为m(例如,若n为12,则其和为1+2+3+4+6=16),则正整数n必有以下三种情形:

m <2n 亏数(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9 ...

m =2n 完美数(完全数,perfect number) 6,28,496 ...

m >2n 盈数(abundant number) 12,18,20,24,30 ...

最早这么命名亏数和盈数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

最小的一些过剩数是: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(OEIS中的数列A005101)

以上列出的过剩数都是偶数。最小的奇过剩数是945。

奇过剩数和偶过剩数都有无穷多个,因为每个完美数和过剩数的倍数(不包括它们自身)都是过剩数。甚至,每个大于20161的数都可以写成两个过剩数之和。许多过剩数一部分真因子的和等于过剩数自身,这样的过剩数也是半完美数,一个不是半完美数的过剩数叫做奇异数;盈度为1的过剩数叫做准完美数。每一完美数的完全倍数以及每一盈数的倍数都是盈数(因为,当n>1时,σ(n)/n >1+1/n;且σ(n) 为积性函数multiplicative function,即n的所有正因子之和)。1998年Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

每一大于20161的整数可写成两个过剩数之和。

半完全数全部都是过剩数(盈数)。

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