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上确界

上确界是一个集的最小上界,是数学分析中最基本的概念。

“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。

在所有那些上界中如果有一个最小的上界,就称为M的上确界。

一个有界数集有无数个上界和下界,但是上确界却只有一个。

上确界的数学定义  有界集合S,如果β满足以下条件(1)对一切x∈S,有x≤β,即β是S的上界;  (2)对任意e>0,存在x>β-e,即β又是S的最小上界,则称β为集合S的上确界,记作β=supS (同理可知下确界的定义)  在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理:“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”。

上确界的证明

(1)每一个 x ∈ X 满足不等式 x ≤ m;

(2) 对于任何的 ε > 0, 存在有x' ∈ X, 使 x' > M - ε

则数 M = sup{x} 称为集合X的上确界。

  在一般的数学分析学教材中,实数理论一章,为了说明实数的连续性,有一系列的定理,理论比较严密的前苏联教材一般是以戴德金分割定理为出发点证明其它的等价定理。而我国教材为了简化,很多都是从确界定理为出发点进行的证明,其他说明实数的连续性的定理还有区间套定理,有限覆盖定理等等。

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