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开集

开集是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集。

如右图,满足x^2+y^2=r^2的点着蓝色。满足x^2+y^2<r^2的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

假设X是一个集合, 如果存在一系列X的子集合满足下面的条件,那么每个这样的子集就称为X的一个开集,X称为拓扑空间:

(1)空集和X为开集;

(2)有限多个开集之交为开集(无穷多个开集的交集未必是开集);

(3)任意多个开集之并为开集。

有了开集之后,定义开集的补集闭集。比如,X的补集为空集,因此空集也是闭集。

设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集。

赋予实数空间R绝对值度量,对应的开集称为通常拓扑。在通常拓扑下有以下结论:

1.实数空间R中的开区间都是开集

设a,b∈R,a<b.我们说开区间

(a,b)={x∈R|a<x<b}

是R中的一个开集.这是因为如果x∈(a,b),若令

ε=min{x-a,b-x},

则有小球B(x,ε)=(x-ε,x+ε)包含于(a,b)。

2.也同样容易证明无限的开区间

(a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,∞)=R

都是R中的开集。

3.闭区间不是R中的开集

实数空间上的闭区间

[a,b]={x∈R|a≤x≤b}

不是R中的开集.因为对于a∈[a,b]而言,任何

ε>0,B(a,ε)包含于 [a,b]都不成立。

4.半开半闭区间、无限闭区间都不是R中的开集

半开半闭的区间

(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b}

无限的闭区间

[a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}等

都不是R中的开集。

5.开集可以唯一的用可数个两两不相交的开区间的并集表示。

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