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马尔科夫预测

马尔科夫预测讲述了有关随机变量 、 随机函数与随机过程。

1.1.基本概念

1.1.1 随机变量 、 随机函数与随机过程

一变量x,能随机地取数据(但不能准确地预言它取何值),而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率,那么称x为随机变量。

假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi,即P(x = xi) = Pi,对于xi的所有n个可能值,有离散型随机变量分布列: ∑Pi = 1 对于连续型随机变量,有 ∫P(x)dx = 1

在试验过程中,随机变量可能随某一参数(不一定是时间)的变化而变化.

如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说:随机过程是这样一个函数,在每次试验结果中,它以一定的概率取某一个确定的,但预先未知的时间函数。

1.1.2 马尔科夫过程

随机过程中,有一类具有"无后效性性质",即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下,过程在时刻t>to时所处的状态只和to时刻有关,而与to以前的状态无关,则这种随机过程称为马尔科夫过程。 即是:ito为确知,it(t>to)只与ito有关,这种性质为无后效性,又叫马尔科夫假设。

简例:设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量,则

x(t) = x(t—1)-y(t) +G(t)

x(t)可看作一个马尔科夫过程。

1.1.3 马尔科夫链

时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例:蛙跳问题

假定池中有N张荷叶,编号为1,2,3,……,N,即蛙跳可能有N个状态(状态确知且离散)。青蛙所属荷叶,为它目前所处的状态;因此它未来的状态,只与现在所处状态有关,而与以前的状态无关(无后效性成立)

写成数学表达式为:

P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it—1,……x1 = i1)

=P( xt+1 = j | xt = it )

定义:Pij = P( xt+1 = j | xt = i)

即在xt = i的条件下,使 xt+1 = j的条件概率,是从 i状态一步转移到j状态的概率,因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图,由于共有N个状态,所以有

1.2 状态转移矩阵

1.2. 1 一步状态转移矩阵

系统有N个状态,描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵

P11 P12 …… P1N

定义为 P = P21 P22 …… P2N

: : :

PN1 PN2 …… PNN

这是一个N阶方阵,满足概率矩阵性质

1) Pij ≥ 0,i,j = 1,2, ……, N 非负性性质

2) ∑ Pij = 1 行元素和为1 ,i=1,2,…N

如: W1 = [1/4, 1/4, 1/2, 0] 概率向量

W2 = [1/3, 0, 2/3]

W3 = [1/4, 1/4, 1/4, 1/2] 非概率向量

W4 = [1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3]

3)若A和B分别为概率矩阵时,则AB为概率矩阵。

1.2.2 稳定性假设

若系统的一步状态转移概率不随时间变化,即转移矩阵在各个时刻都相同,称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类,后面的讨论均假定满足稳定性条件。

1.2.3 k步状态转移矩阵

经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为

P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)

i,j = 1,2, ……, N

定义:k步状态转移矩阵为:

P11(k) P12(k) …… P1N(k)

P [k] = : : :

PN1(k) PN2(k) …… PNN (k)

当系统满足稳定性假设时

P[k] = Pk = P P …… P

其中P为一步状态转移矩阵。

即当系统满足稳定性假设时,k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.

例:设系统状态为N = 3,求从状态1转移到状态2的

二步状态转移概率.

解:作状态转移图

解法一:由状态转移图:

1-- 1-- 2: P11 P12

1-- 2-- 2: P12 P22

1-- 3-- 2: P13 P32

P12 = P11 P12 + P12 P22 +P13 P32

=∑ P1i Pi2

解法二: k = 2, N = 3

P11(2) P12 (2) P13(2)

P = P21(2) P22 (2) P23(2)

P31(2) P32(2) P33(2)

P11 P12 P13 P11 P12 P13

= PP = P21 P22 P23 P21 P22 P23

P31 P32 P33 P31 P32 P33

得: P12(2) = P11 P12 + P12 P22 +P13 P32

=∑ P1i Pi2

1.3 稳态概率:用于解决长期趋势预测问题

即:当转移步数的不断增加时,转移概率矩阵 P 的变化趋势。

1.3. 1 正规概率矩阵。

定义:若一个概率矩阵P,存在着某一个正整数m,使P 的所有元素均为正数(Pij >o),则该矩阵称为正规概率矩阵

例: 1/2 1/4 1/4

P = 1/3 1/3 1/3 为正规概率矩阵

2/5 1/5 2/5

0 1 P11 = 0

P=

1/2 1/2 1/2 1/2

但当 m = 2, 有 P2= 1/4 1/4 有Pij >0

它也是正规概率矩阵。(P2 每个元素均为正数)

1 0

但 P= 就找不到一个正数m,使P 的每一个元素均大于0,所以它

0 1 不是正规概率矩阵。

1.3.2 固定概率向量(特征概率向量)

设 P为NN概率矩阵,若U = [U1, U2,…, UN]为概率向量,且满足UP = U,称U为P的固定概率向量

例 0 1

P=

1/2 1/2 为概率矩阵

P的固定概率向量 U = [ 1/3 , 2/3]

检验 UP = [1/3 2/3] 0 1

1/2 1/2

=[1/3 2/3]

1.3.3 正规概率矩阵的性质

(1)设P为NXN正规概率矩阵,则

A .P有且只有一个固定概率向量

U = [U1,U2, …… UN]

且U的所有元素均为正数 Ui > 0

B.NXN方阵P的各次方组成序列 P, P, P, …… ,P 趋于方阵T,且T的每一个行向量都是固定概率向量U。

即 U1 U2 …… UN U

lim Pk= T = : : : = :

U1 U2 …… UN U

这个方阵T称稳态概率矩阵。

这个定理说明:无论系统现在处于何种状态,在经过足够多的状态转移之后,均达到一个稳态。因此,欲求长期转移概率矩阵,即进行长期状态预测,只要求出稳态概率矩阵T;而T的每个行向量都是固定概率向量,所以只须求出固定概率向量U就行了 !

(2)设X为任意概率向量,则XT = U

即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。

事实上: U1 U2 …… UN

XT = X : : : = [U1∑Xi U1∑Xi …… U1∑Xi ]

U1 U2 …… UN

= [U1 U2 …… UN ]

= U

例:若 0.4 0.3 0.3

P = 0.6 0.3 0.1 求T

0.6 0.1 0.3

解:设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1-U1-U2]

由 UP = U 有

0.4 0.3 0.3

[U1 U2 1-U1-U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]

0.6 0.1 0.3

即 -0.2U1 + 0.6 = U1 → U1 = 0.5

0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 → U2 = 0.25

-0.2U2 + 0.3 = U3 → U3 = 0.25

∴ U = [0.5 0.25 0.25]

0.5 0.25 0.25

则 T = 0.5 0.25 0.25

0.5 0.25 0.25

不管系统的初始状态如何,当系统运行时间较长时,转移到各个状态的概率都相等。(列向量各元素相等)

即 各状态转移到1状态都为0.5;

2状态都为0.25 ;

3状态都为0.25

1.2市场占有率预测

1.2.1短期市场占有率预测

商品在市场上参与竞争,都拥有顾客,并由此而产生销售,事实上,同一商品在某一地区所有的N个商家(或不同品牌的N个同类产品)都拥有各自的顾客,产生各自销售额,于是产生了市场占有率定义:

设某一确定市场某商品有N个不同品牌(或N个商家)投入销售,第i个商家在第j期的市场占有率

Si(j) = xi(j)/x i =1,2, …… N

其中 xi(j)为第i个商家在第j期的销售额(或拥有顾客数)

x为同类产品在市场上总销售额(或顾客数)

市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。

一般地,首先考虑初始条件,设当前状态(即j = 0 )

为 S(0) = [S1(0) S2(0) …… SN(0)]

第i个商家 Si(0) = xi(0)/x → xi(0) = Si(0) x

即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.

同时假定满足无后效性及稳定性假设.

由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为

xi(k) = x1(0)P1i(k) + x2(0)P2i(k)+ ……+ xN(0)PNi(k)

= xS1(0)P1i(k) +xS2(0)P2i(k) + ……+ xSN(0)PNi(k)

P1i(k)

= x[S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)

:

PNi(k)

有:Si(k) = xi(k)/x P1i(k)

= [S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)

:

PNi(k)

故可用矩阵式表达所有状态:

[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P

即 S(k) = S(0) P

当满足稳定性假设时,有

S(k) = S(0) P

这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.

例:东南亚各国味精市场占有率预测,

初期工作:

a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.

b)市场调查,求得目前状况,即初始分布

c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.

1)初始向量:

设 上海味精状况为1;

日本味精状况为2;

香港味精状况为3;

有 S(0) = [S1(0) S2(0) S3(0)] = [0.4 0.3 0.3]

2)确定一步状态转移矩阵

P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3

P = P21 P22 P23 = 0.6 0.3 0.1

P31 P32 P33 0.6 0.1 0.3

3)3 步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)

P11(3) P12(3) P13(3) 0.496 0.252 0.252

P 3= P21(3) P22(3) P23(3) = P 3= 0.504 0.252 0.244

P31(3) P32(3) P33(3) 0.504 0.244 0.252

4)预测三个月后市场

0.496 0.252 0.252

S(3) = S(0)P3 =[0.4 0.3 0.3] 0.504 0.252 0.244

0.504 0.244 0.252

S1(3) = 0.4×0.496 +0.3×0.504 + 0.3×0.504 = 0.5008

S2(3) = 0.2496 S3(3) = 0.2496

1.2.2 长期市场占有率预测

这是求当 k →∞ 时 S(k) → ?

我们知道: S(k) = S(0) P[k]

lim S(k) = S(0) lim P[k] = S(0)T = U

因此,在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵,也是求固定概率向量.

求固定概率向量的方法,我们在前一节已有例子,只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关,与初始条件无关.

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