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代数簇

代数几何学上,代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典(某种程度上也是现代)代数几何的中心研究对象。 术语簇(variety)取自拉丁语族中词源(cognate of word)的概念,有基于"同源"而"变形"之意。 历史上,代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系,它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定,而根集合是内在的几何对象。在此基础上,希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果,我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念,也能够用几何来承载环论中的问题。

代数簇是代数几何里最基本的研究对象。 通俗的讲代数簇就是有若干多元多项式方程定义的公共零点集。如果代数簇恰好可以用一个方程定义,就称为超曲面

最简单的代数,就是

d次平面代数曲线: 由方程 f(x,y,z)=0定义, 此处f(x,y,z)是齐次的三元d次多项式。

d=1,2 的曲线同构与射影直线;

d=3 就是椭圆曲线,其标准定义方程为:z*y^2=x*(x-z)*(x-λ*z),此处λ是参数

d=4就是亏格3曲线。

更一般的,我们有光滑曲线的亏格公式:g=(d-1)(d-2)/2,此处g是曲线亏格。

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