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一致连续

若定义在区间A(注意区间A可以是闭区间,亦可以是开区间甚至是无穷区间)上的连续函数f(x),如果对于任意给定的正数ε>0,存在一个只与ε有关与x无关的实数ζ>0,使得对任意A上的x1,x2,只要x1,x2满足|x1-x2|<ζ,就有|f(x1)-f(x2)|<ε,则称f(x)在区间A上是一致连续的。

一致连续性表示,在f(x)的连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(ζ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε),且这个接近程度(ζ)不随自变量x的改变而改变。

函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续的充分必要条件是其在[a,b]上连续;函数f(x)在开区间(a,b)上(或无穷区间上)一致连续的充分必要条件是其在开区间(或无穷区间)上连续且f(a+0)以及f(b-0)存在极限。

⑴对于函数f(x)在闭区间[a,b]和开区间(a,b)上一致连续,则f(x)在该区间上有上下界。

⑵对于函数f(x)在无限区间比如

上一致连续,则f(x)在该区间上不一定有上下界,若

存在,则f(x)在

上有上下界。

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