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毕达哥拉斯

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~约前500)古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭,自幼聪明好学,曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。后来因为向往东方的智慧,经过万水千山,游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国--巴比伦和印度,以及埃及(有争议),吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想,后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。

毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点;因为他容许妇女(当然是贵族妇女而不是奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利,因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。

传说他是一个非常优秀的教师,他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人,他想教他学习几何,因此对此人建议:如果这人能学懂一个定理,那么就给他一块钱币。这个人看在钱的份上就和他学几何了,可是过了一个时期,这学生对几何产生了非常大的兴趣,反而要求毕达哥拉斯教快一些,并且建议:如果老师多教一个定理,他就给一个钱币。不需要多少时间,毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭,年青时曾到过埃及和巴比伦学习数学,游历了当时世界上二个文化水准极高的文明古国。毕达哥拉斯后来就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想,后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。

毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点;因为他容许妇女(当然是贵族妇女而不是奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样在求知的权利上平等,因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所无的现象。

传说他是一个非常优秀的教师,他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人,他想教他学习几何,因此对此人建议:如果这人能学懂一个定理,那么他就给他一块钱币。这个人看在钱份上就和他学几何了,可是过了一个时期,这学生对几何却产生了非常大的兴趣,反而要求毕达哥拉斯教快一些,并且建议:如果老师多教一个定理,他就给一个钱币。不需要多少时间,毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里,在一场城市暴动中,他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中,这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了,这坟还保留下来,可见人们对这学者的重视。

毕达哥拉斯的哲学思想受到俄耳甫斯的影响,具有一些神秘主义因素。从他开始,希腊哲学开始产生了数学的传统。毕氏曾用数学研究乐律,而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。

在宇宙论方面,毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界,并坚持大地是圆形的,不过则抛弃了米利都学派的地心说。

毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别,可理喻的东西是完美的、永恒的,而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大,并从此一直支配着哲学及神学思想。

他还坚持数学论证必须从“假设”出发,开创演绎逻辑思想,对数学发展影响很大。

公元前580年,毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛(今希腊东部的小岛)爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一,此时群岛正处于极盛时期,在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。

毕达哥拉斯的父亲是一个富商,九岁时被父亲送到提尔,在闪族叙利亚学者那里学习,在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。公元前551年,毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地,拜访了数学家、天文学家、泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯,并成为了他们的学生。在此之前,他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。

公元前550年,30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学,穿东方人服装,蓄上头发从而引起当地人的反感,从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见,认为他标新立异,鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及,途中他在腓尼基各沿海城市停留,学习当地神话和宗教,并在提尔一神庙中静修。

抵达埃及后,国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中,毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话历史和宗教,并宣传希腊哲学,受到许多希腊人尊敬,有不少人投到他的门下求学。

毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯,开始讲学并开办学校,但是没有达到他预期的成效。公元前520年左右,为了摆脱当时君主的暴政,他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯,移居西西里岛,后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒,建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。

他的演讲吸引了各阶层的人士,很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗,妇女是被禁止出席公开的会议的,毕达哥拉斯打破了这个成规,允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜,她年轻漂亮,曾给他写过传记,可惜已经失传了。

毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个秘密结社,这个社团里有男有女,地位一律平等,一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密,甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平,加入组织还要经历一系列神秘的仪式,以求达到“心灵的净化”。

他们要接受长期的训练和考核,遵守很多的规范和戒律,并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华,与上帝融为一体,万物都包含数,甚至万物都是数,上帝通过数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。

学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想,他们吃着简单的食物,进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊(今意大利南部一带)赢得了很高的声誉,产生过相当大的影响,也因此引起了敌对派的嫉恨。

后来他们受到民主运动的冲击,社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔兰托),并于公元前500年去世,享年80岁。许多门徒逃回希腊本土,在弗利奥斯重新建立据点,另一些人到了塔兰托,继续进行数学哲学研究,以及政治方面的活动,直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。

毕达哥拉斯自幼聪明好学,曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧,经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及,吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养,大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通,创建了自己的学派,一边从事教育,一边从事数学研究。

毕达哥拉斯在Croton建立了“学术帮派”兄弟会(也允许女性参加;足见毕氏没有性别歧视),后来因志同道合而娶了Milo美丽的女儿Theano(是典型的希腊美女──白皙的皮肤,挺直的鼻梁及高挑的身材),之后,毕氏继续领导这个神秘的组织致力于数理及哲学的探讨,当时外界对兄弟会的研究完全不了解。

有一次毕达哥拉斯和Leon王子应邀出席参观一场盛大的竞技比赛,Leon和毕达哥拉斯无所不谈,Leon就问毕达哥拉斯:“能否谈谈你是怎样的一个人?”,毕达哥拉斯简单的回答Leon说:“我是哲学家(philosopher)”,王子之前从未听过这个字眼,就向大师请益,毕达哥拉斯说:“就好像今天来参加盛会的人,有一些是沽名钓誉者,有些是为奖赏而拼死拼活的,而我呢?我来这里就只是为了‘观察’和‘理解’这里的一切,而‘观察’和‘理解’就是哲学。” 

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会,这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖,由于大餐迟迟不上桌,这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言;但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖,但毕达哥拉斯不只是欣赏瓷砖的美丽,而是想到它们和“数”之间的关系,于是拿了画笔并且蹲在地板上,选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形,他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形,他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积,也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设:任何直角三角形,其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……那一顿饭,这位古希腊数学大师,视线都一直没有离开地面。 

毕达哥拉斯逃离Samos岛之后,前往意大利的Croton(当时仍属于希腊版图)并结识了当地最有权势的人──Milo。毕达哥拉斯的哲理思想在当时是能影响全希腊的知识界,但Milo的声望比毕氏更高,他除了有着像力神Hercules般的体形之外,同时也是奥林匹克竞技十项全能,也同时是哲学及数学的爱好者;干材遇烈火也是慧眼识英雄,于是Milo提供财力及房舍给毕达哥拉斯办“学校”,他俩就成了最好的伙伴。毕达哥拉斯成立了“学校”──毕达哥拉斯兄弟会,这个组织立刻吸引了600位会员,这是历史上很特殊的知识帮派,会员必须贡献他所有的财产给组织;毕达哥拉斯为了显示兄弟会的“组织性”,他规定入会的兄弟要发毒誓,不准泄露组织的任何数学发现…… 

在那个一切归美于神的年代里,Pythagoras所创立的“兄弟会”,其实就是一个宗教性团体,只是说这些教徒所信奉的偶像是“数”,毕达哥拉斯相信神用“数”创造了宇宙万物,而能透过对数的研究就能更了解宇宙的奥密也就更能接近神,这是毕达哥拉斯的信仰也是他所创兄弟会的教义。此外,信徒被迫发毒誓不得泄露组织内的活动以及他们所研究的成果,毕达哥拉斯之所以如此定“组织章程”,其实并不难理解,就类似现在的休闲中心采用会员制,一方面是便于管理、提升素质,另一方面也是维护会员的权益;兄弟会会员入会必须要将他所有财产贡献给组织,会员的义务是这么大,所以当然,相对的,成员的权益(数学新知)也不能让外人分享。由于组织的神秘色彩,在当时是吸引了无数人才进入兄弟会。

他的最初前世被认为是赫尔墨斯的儿子,叫Aethalides 。赫尔墨斯允许他可以选择除不朽之外任何他所喜欢的能力,于是此人要求无论在生前或死后都保持对自己经历的记忆。这就是毕达哥拉斯的第一代,一个半神半人的人物。这个人在古希腊的传说中有点名气,锡罗斯的弗瑞西德斯(Pherecydes)在《五籁集》(Fivechasm)中提到过他。

他的第二世身处英雄时代,叫Euphorbus 。此人参与了特洛伊战争,被阿伽门农的兄弟Menelaus所伤,Menelaus就是海伦的丈夫。此后,他的灵魂还有上天入地的飘游经历,进入过好多植物和动物,还去过哈得斯(Hades),也就是冥界

第三世是个普通人,叫Hermotimus 。他对自己的记忆已经不怎么肯定了,于是去了阿波罗神庙,在那里他认出了Menelaus从特洛伊返航路上献祭给阿波罗的盾牌。这块盾牌除了正面的象牙以外,其他部分差不多都朽烂了。到了他的这一代,记忆已经多少有点问题,最终他借助于过去时代的器物恢复了自己记忆的完整。

第四代是一个渔夫,叫Pyrrhus 。他的地位又低下了一些,只能靠自己的劳动力谋生。此人死后出生了哲学家毕达哥拉斯,毕达哥拉斯可以认为是第五代。

康福德(《从宗教到哲学》)说,在他看来,“毕达哥拉斯代表着我们所认为与科学倾向相对立的那种神秘传统的主潮。”他认为巴门尼德他称之为“逻辑的发现者” “是毕达哥拉斯的一个支派,而柏拉图本人则从意大利哲学获得了他的灵感的主要来源”。

他说毕达哥拉斯主义是奥尔弗斯教内部的一种改良运动,而奥尔弗斯教又是狄奥尼索斯崇拜中的改良运动。理性的东西与神秘的东西之互相对立贯穿着全部的历史,它在希腊人中间最初表现为奥林匹克的神与其他较为不开化的神之间的对立,后者更接近于人类学者们所研究的原始信仰。在这个分野上,毕达哥拉斯是站在神秘主义方面的,虽然他的神秘主义具有一种特殊的理智性质。他认为他自己具有一种半神明的性质,而且似乎还曾说过,“既有人,又有神,也还有象毕达哥拉斯这样的生物。”康福德说,受他所鼓舞的各种体系“都是倾向于出世的,把一切价值都置于上帝的不可见的统一性之中,并且把可见的世界斥为虚幻的,说它是一种混浊的介质,其中上天的光线在雾色和黑暗之中遭到了破坏,受到了蒙蔽”。

伯奈特把这种道德观总结如下:“我们在这个世界上都是异乡人,身体就是灵魂的坟墓,然而我们决不可以自杀以求逃避;因为我们是上帝的所有物,上帝是我们的牧人,没有他的命令我们就没权利逃避。在现世生活里有三种人,正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作买卖的人都属于最低的一等,比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而,最高的一种乃是那些只是来观看的人们。因此,一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学,唯有献身于这种事业的人,亦即真正的哲学家,才真能使自己摆脱'生之巨轮'。”

文字涵义的变化往往是非常有启发意义的。 我在上文已经提到“狂欢”(orgy)那个字;现在我就要谈谈“理论”(theory)这个字。这个字原来是奥尔弗斯教派的一个字,康福德解释为“热情的动人的沉思”。他说,在这种状态之中“观察者与受苦难的上帝合而为一,在他的死亡中死去,又在他的新生中复活”;对于毕达哥拉斯,这种“热情的动人的沉思”乃是理智上的,而结果是得出数学的知识。

这样,通过了毕达哥拉斯主义,“理论”就逐渐地获得了它的近代意义;然而对一切为毕达哥拉斯所鼓舞的人们来说,它一直保存着一种狂醉式的启示的成份。这一点,对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说,好像是很奇怪的;然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说,对于那些喜爱数学的人们来说,毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自然的,纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶,而纯粹的数学家,正象音乐家一样,才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。

最有趣的是,我们从伯奈特叙述的毕达哥拉斯的伦理学里,可以看出与近代价值相反的观念。譬如在一场足球赛里,有近代头脑的人总认为足球员要比观众伟大得多。至于国家,情形也类似:他们对于政治家(政治家是比赛中的竞争者)的崇拜有甚于对于那些仅仅是旁观者的人们。这一价值的变化与社会制度的改变有关战士、君子、财阀、独裁者,各有其自己的善与真的标准。君子在哲学理论方面曾经有过长期的当权时代,因为他是和希腊天才结合在一片的,因为沉思的德行获得了神学的保证,也因为无所为而为的真理这一理想庄严化了学院的生活。君子可以定义为平等人的社会中的一分子,他们靠奴隶劳动而过活,或者至少也是依靠那些毫无疑问地位卑贱的劳动人民而过活。应该注意到在这个定义里也包括着圣人与贤人,因为就这些圣贤的生活而论,他们也是耽于沉思的而不是积极活动的。

近代关于真理的定义,例如实用主义的和工具主义的关于真理的定义,就是实用的而不是沉思的,它是由于与贵族政权相反对的工业文明所激起的。

无论人们对于容许奴隶制存在的社会制度怀着怎样的想法,但正是从上面那种意义的君子那里,我们才有了纯粹的数学。沉思的理想既能引人创造出纯粹的数学,所以就是一种有益的活动的根源;这一点就增加了它的威望,并使它在神学方面、伦理学方面和哲学方面获得了一种在其他情况下所不能享有的成功。

关于毕达哥拉斯之作为一个宗教的先知与作为一个纯粹的数学家这两方面,我们已经解释得很多了。在这两方面,他都有着无可估计的影响,而且这两方面在当时也不象近代人所想象的那样是分离开来的。

大多数的科学从它们的一开始就是和某些错误的信仰形式联系在一片的,这就使它们具有一种虚幻的价值。天文学和占星学联系在一片,化学和炼丹术联系在一片。数学则结合了一种更精致的错误类型。数学的知识看来是可靠的、准确的,而且可以应用于真实的世界。此外,它还是由于纯粹的思维而获得的,并不需要观察。因此之故,人们就以为它提供了日常经验的知识所无能为力的理想。人们根据数学便设想思想是高于感官的,直觉是高于观察的。如果感官世界与数学不符,那么感官世界就更糟糕了。人们便以各种不同的方式寻求更能接近于数学家的理想的方法,而结果所得的种种启示就成了形而上学与知识论中许多错误的根源。这种哲学形式也是从毕达哥拉斯开始的。

正如大家所知道的,毕达哥拉斯说“万物都是数”。这一论断如以近代的方式加以解释的话,在逻辑上是全无意义的,然而毕达哥拉斯所指的却并不是完全没有意义的。

他发现了数在音乐中的重要性,数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保存着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。他把数想象为象是表现在骰子上或者纸牌上的那类形状。我们至今仍然说数的平方与立方,这些名词就是从他那里来的。

他还提到长方形数目、三角形数目、金字塔形数目等等。这些都是构成上述各种形状所必需的数目小块块(或者我们更自然一些应该说是些数目的小球球)。他把世界假想为原子的,把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成的分子所形成的。他希望以这种方式使算学成为物理学的以及美学的根本研究对象。

毕达哥拉斯的最伟大的发现,或者是他的及门弟子的最伟大的发现,就是关于直角三角形的命题;即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方,即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3,4,5的话,则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到32+42=52的,并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。

然而不幸,毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现,这似乎否定了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里,弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们假设每边长一时,那么弦应该有多么长呢?让我们假设它的长度是m/n时。那么m2/n2=2。

如果m和n有一个公约数,我们可以把它消去,于是m和n必有一个是奇数。现在m2=2n2,所以若n是偶数,则m也是偶数;因此n就是奇数。假设m=2p。那么4p2=2n2,因此n2=2p2,而因此n便是偶数,与假设相反。所以就没有m/n的分数可以约尽弦。以上的证明,实质上就是欧几里德第十编中的证明①。

这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位,总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系;也就是说,不能有两个整数m、n,从而使问题中的m倍的长度等于n倍的单位。这就使得希腊的数学家们坚信,几何学的成立必定是独立的而与算学无关。

柏拉图对话录中有几节可以证明,在他那时候已经有人独立地处理几何学了;几何学完成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西,例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因为有不可公约数的困难,他才认为这种办法是必要的。他在第五编、第六编中论比例时,情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的,并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时,则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡尔介绍了坐标几何学(解析几何)从而再度确定了算学至高无上的地位时,他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性,虽然在他那时候还不曾发现这种解法。

几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发,根据演绎的推理前进,而达到那些远不是自明的定理。公理和定理被认为对于实际空间是真确的,而实际空间又是经验中所有的东西。这样,首先注意到自明的东西然后再运用演绎法,就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。“独立宣言”

“我们认为这些真理是自明的”,其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说,就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书,尽管它的材料公认是经验的,但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学,其体裁也出于同一个来源。个人的宗教得自天人感通,神学则得自数学;而这两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。

我相信,数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源,也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆,但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的;无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规,总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点,即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象;很自然地可以再进一步论证说,思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说,也是被纯粹数学所巩固起来的;因为数学的对象,例如数,如其是真实的话,必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象就可以被想象成为上帝的思想。因此,柏拉图的学说是:上帝是一位几何学家;而詹姆士琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教,自从毕达哥拉斯之后,尤其是从柏拉图之后,一直是完全被数学和数学方法所支配着的。

数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯,它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教。但是在柏拉图、圣奥古斯丁、托马斯阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德的身上都有着一种宗教与推理的密切交织,一种道德的追求与对于不具时间性的事物之逻辑的崇拜的密切交织;这是从毕达哥拉斯而来的,并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直截了当的神秘主义区别开来。只是到了最近的时期,人们才可能明确地说出毕达哥拉斯错在哪里。我不知道还有什么别人对于思想界有过象他那么大的影响。我之所以这样说,是因为所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析,就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。有一个只能显示于理智而不能显示于感官的永恒世界,全部的这一观念都是从毕达哥拉斯那里得来的。如果不是他,基督徒便不会认为基督就是道;如果不是他,神学家就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证.明.。但是在他的身上,这一切还都不显著。

西方哲学史毕达哥拉斯

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