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空间区域

n维空间里个一个点集合N叫做一个区域,是指它具有连通性,也就是说N里面的任何两个点,都能用一条完全含于N的简单闭折线连起来。往细了说还有开域,闭域等。

维度(又称维数)是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内,指独立的时空坐标的数目。

我们所居于的时空有四个维(3个空间轴和1个时间轴)。我们周围的空间有3个维(上下,前后,左右)。我们可以往上下、东南西北移动,其他方向的移动只需用3个三维空间轴来表示。向下移就等于负方向地向上移,向西北移就只是向西和向北移的混合。

时间是第四维,与三个空间维不同的是,它只有一个,且只能往一方向前进。

有些理论预言我们所居于的宇宙实际上有更多的维度(通常10,11 或 26 个)。但是这些附加的维度所量度的是次原子大小的的宇宙。(请参看弦论)

维度是理论模型,在非经典物理学中这点更为明显。所以我们不用计较宇宙的维数是多少,只要方便描述就行了。

在数学上,通俗地说,维数是这样一个正整数,在一个空间中要定出一个点所需要的最少的数字的个数,而且用这么多个数字也能而且只能定出一个该空间的点。

平面就是二维空间,直线是一维空间。在初等几何里平面上的直线有两种关系:相交和平行。题目所研究的是平面n条直线将平面划分成的区域(不包括零维空间,即点)的块数fn的计算。

1、平面上有n条直线,并且它们没有互相平行的,也没有哪三条直线相交于一点(换一句话说,就是:任二相交,任三不共点)。那么他们将空间划分成fn=n(n+1)/2+1块区域。这个极容易用数学归纳法证明:

n=0时是成立的,假设在n=k时也成立,那么就是说fk=k(k+1)/2+1,现在再多一条直线,它与原来的k条直线都相交,而且不通过原来那些直线的交点,那么这条直线就被分成了(k+1)段,每一段都将空间的区域多划分出了一块,所以fk+1=k(k+1)/2+1+k+1=(k+1)(k+2)/2+1所以公式对于n=k+1也是成立的。综合起来就有对所有的自然数n,公式都成立,证完。

2、平面上有n条直线,他们中有超过2条直线相交于一个点,也有互相平行的直线存在

这个时候情况稍微复杂一点:先约定两的名词:1、p结,就是一个点,有p条直线通过它。2、q行(xing),是这样的q条直线:它们互相平行。

现在有两条定理:

(1)每一个p结,都使平面的区域损失P=p(p+1)/2+1-2p块。

(2)每一个q行,都使平面的区域损失Q=q(q+1)/2-q块。

注意:这里说的损失,是相对于n条直线,它们没有互相平行的,也没有哪三条直线相交于一点这种情况来说的。例如:面上有n条直线,它们中有1个p结,有1个q行,则它们将把平面划分成n(n+1)/2+1-(p(p+1)/2+1-2p)-(q(q+1)/2+1-q)块。如果有很多结,分别是p1结,p2结,……pm结,则用n(n+1)/2+1分别减去它们对应损失的区域块数,有行也是同理。

上面两个定理的证明很容易:直接单纯考虑平面上的p条相交于一点的直线可以得到(1),又单纯考虑平面上q条互相平行的直线可以得到(2)。在此不再作出。这个简单的结果是由l0i(Baidu ID)得到。

如果不是直线划分平面,而是平面划分三维空间,那么情况会更加复杂,或者说更加一般的是:用n-1维空间去划分n维空间而得到的n维区域的个数,那么情况是相当复杂的,刚才只不过是得到了n=2的情况而已。

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