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圆的度量

《圆的度量》,古希腊物理学家、数学家,静力学和流体静力学的奠基人阿基米德著。阿基米德的几何学著作是希腊数学的顶峰。

《圆的度量》,利用圆的外切与内接96边形,求得圆周率π的近似值,这是数学史上最早的,明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积;使用的是穷举法。

阿基米德的证明如下。设 A 为圆面积、C为圆 周、T 为命题所述的三角形的面积,假若 A > T,我们可作边数足够多的内接正多边形 P 使

A - P < A - T

而得出 P > T

但这是不可能的,因为把多边形分割成大小一样的三角形,h 比半r 短,而 P 的周界亦比 C 短,所按照计算面积的方法,P < T,与以上所说矛盾。同理,我们知道 A < T 也不成立,所以 A = T。这种说明方法在今天也十分常见,叫做「归谬法」。

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