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等差数列

如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……1+2(n-1)。等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为:na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意:以上n均属于正整数

1.在数列 中,若 ,则有:①若 ,则am+an=ap+aq.②若m+n=2q,则am+an=2aq.2.在等差数列中,若Sn为该数列的前n项和,S2n为该数列的前2n项和,S3n为该数列的前3n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列。

设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:① ;② ;③ ;④ , 其中 ..当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。求和推导证明:由题意得:Sn=a1+a2+a3+。。。+an①Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②①+②得:2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即A1+An)

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.

等差数列中,等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

A(m)+A(n)=2*A(r),所以A(r)为A(m),A(n)的等差中项,且

为数列的平均数。并且可以推知n+m=2*r。

且任意两项a(m),a(n)的关系为:a(n)=a(m)+(n-m)*d,(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1),相当容易证明

它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别

时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。

若为等差数列,且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。

其实,中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了:

今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织几 何?

书中的解法是:并初、末日织布数,半之,余以乘织讫日数,即得。

这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式

高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。

高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。1795~1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。

高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋,最能证明这一点的是高斯十岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到 100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101,……共有50对这样的数,用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了。

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