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模糊数学模型

实际中,我们处理现实的数学模型可以分成三大类:第一类是确定性数学模型,即

模型的背景具有确定性,对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型,即模

型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型,即模型的背景及关系具有模糊性。

模糊统计方法是一种客观方法,主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客

观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素:

i) 论域X ;

ii) X 中的一个固定元素x0 ;

*

iii) X 中一个随机变动的几何A (普通集);

* *

iv) X 中一个以A 作为弹性边界的模糊集A ,对A 的变动起着制约作用。其中

* *

x0 ∈A ,或者x0 A ,致使x0 对A 的关系是不确定的。

假设做n 次模糊统计试验,则可计算出

*

x A

0 ∈ 的次数

x0 对A 的隶属频率=

实际上,当n 不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为x0 对A 的隶属度,

*

x0 ∈A 的次数

μ (x ) =lim

A 0

→∞ n

指派方法是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函

数的一种方法。

如果模糊集定义在实数域R 上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方

法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布,再根据实际测量数据确定其中

所包含地参数,常用的模糊分布如表 1 所示。

实际中,根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布:

① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小,少,浅,淡,冷,疏,青年”等偏小

的程度的模糊现象。

② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大,多,深,浓,热,密,老年”等偏大

的程度的模糊现象。

③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中,适中,不太多,不太少,不太深,不

太浓,暖和,中年”等处于中间状态的模糊现象。

但是,表 1 给出的隶属函数都是近似的,应用时需要对实际问题进行分析,逐步修

改进行完善,最后得到近似程度更好的隶属函数。

在实际应用中,用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的,主要根据问题的

实际意义来确定。譬如,在经济管理、社会管理中,可以借助于已有的“客观尺度”作

为模糊集的隶属度。下面举例说明。

如果设论域X 表示机器设备,在X 上定义模糊集A =“设备完好”,则可以用“设

备完好率”作为A 的隶属度。如果X 表示产品,在X 上定义模糊集A =“质量稳定”,

则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X 表示家庭,在X 上定义模糊集A

=“家庭贫困”,则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。

另外,对于有些模糊集而言,直接给出隶属度有时是很困难的,但可以利用所谓的

“二元对比排序法”来确定,即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出

顺序,然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。

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